Sim. Havendo uma medida plausível que justifique o pedido de despejo, ele deve ser formalizado na justiça sob o acompanhamento de um advogado especialista. 

As principais justificativas são:

• Atraso no pagamento de aluguel e demais encargos;
• Descumprimento dos termos fixados em contrato de aluguel;
• Falecimento do locatário;
• Sublocação continuada.

Existem também justificativas que não dependem diretamente de alguma violação contratual, mas que permitem a retomada do imóvel mesmo durante a vigência do contrato:

• Necessidade de uso para moradia própria;
• Necessidade de uso para moradia do cônjuge (desde que esse não tenha moradia própria);
• Necessidade de realizar reformas ou reparos urgentes.
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Em regra, sim, mas é preciso analisar cada caso individualmente. O atraso de aluguel pode justificar indenização por danos morais, principalmente se o locador depende desse valor para sua subsistência. Também é cabível o pedido de execução dos valores atrasados acrescidos de multa e correção.

Existe essa possibilidade. No entanto, havendo provas de que o inquilino já ficou devendo o aluguel outras vezes a você, pode-se afastar essa possibilidade de reverter a ação. Dessa forma, você pode ter maior tranquilidade em alugar seu imóvel para alguém que cumpra com o combinado. 

Não é necessário, mas pode ser útil em algumas situações. A própria notificação já é um meio de fazer prova sobre o inadimplemento.

Desde que você não o tenha constrangido publicamente em razão do não pagamento, ou que tenha tentado buscar o cumprimento da dívida usando meios ilícitos ou violentos, não há fundamento para que o inquilino te processe.

Você tem direito de ajuizar uma Ação de Despejo para recuperar o imóvel e uma Ação de Execução para cobrar o aluguel atrasado e indenização, quando cabível.